Персональный сайт

Это интересно

Армавир — Fri, 04 Mar 2011 11:54:51 GMT

Судьба отрицательных чисел

Фибоначчи

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно. В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами – в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.
Тем не менее до XVII века отрицательные числа были "в загоне” и даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бесмыссленными…

Это интересно

Армавир — Fri, 04 Mar 2011 11:52:32 GMT

Почему Нобелевская премия не вручается за достижения в математике?
Бытует мнение, что Альфред Нобель не включил математику в список дисциплин своей премии из-за того, что его жена изменила ему с математиком. На самом деле Нобель никогда не был женат. Настоящая причина игнорирования математики Нобелем неизвестна, но есть несколько предположений. Например, на тот момент уже существовала премия по математике от шведского короля. Другое — математики не делают важных изобретений для человечества, так как эта наука имеет чисто теоретический характер.

Это интересно

Армавир — Fri, 04 Mar 2011 11:51:45 GMT

Вот несколько удивительных простых чисел, которые были открыты в XVIII веке.

331

3331

33331

333331

3333331

33333331

Удивительно, но следуещее число 333333331 не является простым! Оно делится на 17:
17 x 19607843 = 333333331.

Это интересно

Армавир — Sat, 11 Dec 2010 19:28:04 GMT

Когда празднуют день числа Пи?

У числа Пи есть два неофициальных праздника. Первый — 14 марта, потому что этот день в Америке записывается как 3.14. Второй — 22 июля, которое в европейском формате записывается 22/7, а значение такой дроби является достаточно популярным приближённым значением числа Пи.

Это интересно

Армавир — Sat, 11 Dec 2010 19:25:36 GMT

Каким сверлом можно просверлить квадратное отверстие?
Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса a с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Сверло, сделанное на основе треугольника Рело, позволяет сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2%).

Это интересно

Армавир — Sat, 11 Dec 2010 19:22:16 GMT

От 1 до 1 000 000 000

Рассказывают, что когда 9-летнему Гауссу (крупнейший немецкий математик) учитель предложил найти сумму всех целых чисел от 1 до 100,

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,

то маленький Гаусс сам сообразил, каким способом можно очень быстро выполнить это сложение.

Надо складывать первое число с последним, второе с предпоследним и т. д. Сумма каждой такой пары чисел равна 101 и повторяется она 50 раз.

Следовательно, сумма всех целых чисел от 1 до 100 будет равна 101 × 50 = 5050.

Этот же прием используйте для решения более трудной задачи: найти сумму всех цифр у всех целых чисел от 1 до 1 000 000 000.

Обратите внимание: здесь речь идет не о сумме чисел, а о сумме цифр всех чисел!

Источник: Математическая смекалка. Б.А. Кордемский. Москва, 1956.

Число e

Армавир — Sat, 11 Dec 2010 19:11:01 GMT

e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой 'e'. e = 2,7182818284...

Это интересно

Армавир — Wed, 08 Dec 2010 07:59:16 GMT

На листе бумаги нарисовали произвольный многоугольник. Можно ли так сложить лист бумаги, чтобы вырезать многоугольник одним прямолинейным разрезом?

Рассмотрим простейший случай — произвольный треугольник. Проведем биссектрисы и из точки их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника. По этим лучам и будем сгибать лист бумаги. Все границы треугольника — стороны — оказались лежащими на одной прямой. Сделаем вдоль нее прямолинейный разрез. Развернем отрезанный уголок — это наш изначальный треугольник. Если развернуть оставшуюся часть листа, то видно, что ничего лишнего не вырезано — дырка тоже имеет вид изначального треугольника. Нарисуем пятиконечную звезду. Это невыпуклый многоугольник с 10 вершинами. Однако в этом случае задача облегчается симметричностью звезды. Проведем лучи, исходящие из центра и проходящие через вершины. По этим лучам сложим лист бумаги. Отрежем уголок. После разворачивания получим вырезанную звезду и дырку в виде звезды. Многоугольник, нарисованный в начале фильма, тоже может быть вырезан одним прямолинейным разрезом. В 1998 году была доказана общая

Теорема Всегда можно так сложить лист бумаги, что любой многоугольник, нарисованный на нем, будет вырезаться одним прямолинейным разрезом. Доказательство теоремы алгоритмично, т.е. авторы приводят способ, как сложить лист бумаги, чтобы конкретный нарисованный многоугольник можно было вырезать одним прямолинейным разрезом.

Это интересно

Армавир — Wed, 08 Dec 2010 07:55:03 GMT

Самое необычное простое число

Простое число 73 939 133 – необычное. Если вы будете постепенно удалять самую правую цифру, любое из получившихся чисел тоже будет простым. Судите сами – 73 939 133, 7 393 913, 739 391, 73 939, 7 393, 739, 73, 7 – всё это простые числа. А из всех простых чисел 73 939 133 – самое большое обладающее такой интересной особенностью…

Это интересно

Армавир — Wed, 08 Dec 2010 07:52:07 GMT

Мятый рубль

После войны, в 1947 году, в СССР были введены деньги нового образца. И хотя в 1956 году Карело-Финская Советская Социалистическая республика была возвращена в состав РСФСР, и, соответственно, количество ленточек на гербе уменьшилось, год на банкнотах менять не стали.

В 1961 году нашу страну постигла новая реформа денег. Дизайн рублевой банкноты изменился, ее физический размер стал гораздо меньше. К этому времени задача все еще не была решена.

Кроме того что положительный ответ: «Можно», — противоречит интуиции, есть и математические доводы в пользу отрицательного ответа. Если сложить прямоугольник вдоль прямой, то периметр только уменьшится: к уже существовавшей границе прибавляется отрезок той прямой, вдоль которой складывается, а укорачивается граница на ломаную с теми же концами, что и отрезок. Если сделать аналогичную операцию — сложить относительно прямой весь уже получившийся мноугольник, то ситуация будет такая же: периметр увеличивается на длину отрезка, а уменьшается на длину ломаной. Такое складывание — относительно прямой — называется «простым» и всегда только уменьшает периметр. Но это только доводы, но еще не доказательство.

Так можно или нельзя увеличить периметр изначального прямоугольника? В реформах 1991 и 1993 годов рубль образца 61 года был выведен из обращения, а задача В. И. Арнольда так и оставалась нерешенной.

С тех пор один российский рубль — это, к сожалению, настолько мало, что бумажных банкнот такого достоинства уже не выпускают, лишь металлические монеты.

В начале XXI века задача все же была решена. Первое математически строгое решение дал ученик Николая Петровича Долбилина — Алексей Тарасов. Он предложил алгоритм, как складывать квадрат так, чтобы в итоге получился плоский многоугольник с большим периметром.

Для тех, кто хочет просто любоваться фильмом, следующий абзац можно пропустить. Для желающих понять опишем способ сложения подробно.

Возьмем квадратный лист бумаги и разобьем его на клетки, например, 4х4. Раскрасим клетки в шахматном порядке в две краски и в каждом квадрате из центра пустим определенное количество лучей. Расставим в красных квадратах зеленые звездочки так, чтобы их размер увеличивался при хождении по спирали. Теперь сложим лист бумаги в полоску, затем в прямоугольник, и в самом конце — в треугольник. Эта слойка устроена следующим образом. Есть несколько синих слоев в одной половине, а в другой половине — красные слои. Способ построения зеленых звездочек был таков, что после проведенного сложения они уменьшаются к середине многослойного треугольника, как бы вложены друг в друга. Начнем сминать слойку так, чтобы синие слои шли выпуклым образом наружу и красно-зеленые слои тоже. Мы получаем поверхность, которая, в конце концов, складывается в плоский многоугольник.

У получившегося многоугольника есть красное основание (синие треугольники находятся там же внутри слойки) и зеленая гребенка. При этом у гребенки иголок столько же, сколько было зеленых звездочек, т.е. красных квадратов.

А увеличился ли периметр относительно изначального квадрата? Решена ли поставленная задача? Если сравнить фигуры, то видно... что периметр сильно уменьшился. Зачем же тогда складывали таким сложным способом?

На конкретном примере был рассмотрен общий алгоритм. И в этом алгоритме есть два параметра — количество клеток в разбиении изначального квадрата и количество лучей в каждом квадрате. Посмотрим, что будет, если менять эти параметры.

При том же разбиении 4х4 будем увеличивать количество лучей внутри каждой клетки. Это приведет к утоньшению иголочек гребенки, их меньшему пересечению и, соответственно, небольшому увеличению периметра.

Есть еще второй параметр — количество клеток разбиения изначального квадрата. Если увеличивать этот параметр, то по построению будет увеличиваться и количество иголок в гребенке.

Совместное увеличение обоих параметров — и количества клеток, и количества лучей в каждой клетке — дает увеличение периметра. Насколько же он может увеличиваться? Оказывается, до бесконечности. А это значит, что в какой-то момент он станет больше, чем периметр изначального квадрата!

Задача о мятом рубле — поскладывать прямоугольник и увеличить периметр — решена. Но сколько же раз надо складывать? Довольно много. Из работы А. Тарасова можно получить оценку: при разбиении 16х16 и количестве лучей в каждой клетке 16²•30 периметр получившегося многоугольника будет больше, чем периметр изначального квадрата.

В фильме это показать нельзя, а можно ли сделать в жизни? Вы наверняка хорошо помните, что сложить лист бумаги, даже очень тонкой, можно не более 7–8 раз. Если давно это не делали — проверьте простым экспериментом. Так что же дает сама задача, поставленная В. И. Арнольдом, и такой «нереализуемый» алгоритм? Оттачивание инструмента науки, который наверняка пригодится в дальнейшем ее развитии.